Aplicación del teorema de Stone a la ecuación de Schrödinger con potencial variable

El propósito es realizar un trabajo monográfico, haciendo un estudio matemático del problema, entendiendo y exponiendo con detalle los resultados y la teoría empleada para el estudio de la ecuación con las características mencionadas, y proporcionando donde es posible, ejemplos de los conceptos necesarios. Es muy importante destacar que si la funcón potencial V es constante, el problema (1) puede resolverse explícitamente usando solamente la transformada de Fourier. Sin embargo, hay una mayor di¿cultad cuando la función V (x) que describe el potencial depende de la variable x, pues ya la transformada de Fourier no es su¿ciente para resolver el problema. La dificultad es resuelta introduciendo conceptos y teoría del Análisis Funcional, tales como, operador lineal acotado y no acotado, teoría de semigrupos, teorema de Hille-Yosida, teorema de LumerPhillips, y teorema de Stone, entre otros, para poder abordar el problema (1). Esta es la motivación de incluir estos temas en los capítulos 1 y 2 del presente trabajo.PregradoMATEMÁTICO(A

Topological structural stability on projected spaces

En este trabajo estudiamos la estabilidad estructural topológica para una familia de semigrupos no lineales Th(·) sobre espacios de Banach Xh dependiendo de un parámetro h.In this work we study the topological structural stability for a family of nonlinear semigroups Th(·) on Banach spaces Xh which dependent on a parameter h

Semigrupos y el teorema de Hille-Yosida

En el siguiente trabajo se enuncia y demuestra el teorema de Hille-Yosida para el caso de semigrupos fuertemente continuos de contracciones. Además se estudia la ecuación funcional f(t+s)=f(t)+f(s) y se desarrolla la teoría de semigrupos necesaria. Se introducen las definiciones de semigrupo y generador infintesimal y propiedades. Finalmente se dan ejemplos de semigrupos fuertemente continuos en C_0 y Lp.<br /

Aproximación racional a semigrupos de operadores lineales

En este trabajo presentamos una nueva clase de aproximaciones racionales a semigrupos de operadores, que dan lugar a métodos de aproximación estables. Los semigrupos de operadores que se pueden aproximar por estos esquemas son de clase C y si, además, son acotados, se caracterizan por tener un generador infinitesimal A de la forma a=lambda sub 0 p+a sub 1 donde P es un operador proyección, A es un número real negativo y A, un operador cuyo espectro esta" contenido en el semiplano Re z < A del plano complejo. Basándose en la posibilidad de reducir un semigrupo no acotado a uno acotado, se extienden, posteriormente, nuestros resultados a operadores no acotados. En el último capitulo, se dan ejemplos de la aplicación de nuestra teoría a la resolución de algunas ecuaciones de gran importancia en la Física, como son la ecuación de difusión y la del transporte.---ABSTRACT---A new kind of rational approximations to operator semigroups stable approximation methods are presented in this paper. The ope_ rator semigroups that can be approximated through such schemes are of the C class and moreover i f they are bounded they are characterized for having an infinitesimal generator A as follows: a=lambda sub 0 p+a sub 1 where P is the projection operator,X 0 is a negative real number and A, is an operator whose spectrum is inside the semiplañe Re z<Xo of the complex plañe. Based on the possibility of reducing a non - bounded semigroup, to a bounded semigroup, our result may be extended later to non - bounded operators. The last chapter includes examples of the appli catión of our theory to sol ve some extremely important equations in its applications, such as the diffusion and transport equations

Familias de existencia y unicidad y operadores diferenciales

El presente trabajo conlleva al estudio de las familias de existencia y unicidad de operadores lineales acotados como una herramienta para manejar el problema abstracto de Cauchy, así como algunas aplicaciones con operadores diferenciales relacionados con familias de existencia. Por razones técnicas, hemos dividido este trabajo en tres capítulos y un apéndice. En el primer capítulo se estudian las integrales de Riemann y las transformadas de Laplace para funciones valuadas en un espacio de Banach, así como el teorema de acotamiento uniforme. El segundo capítulo es una presentación de las definiciones y propiedades básicas de la nueva familia de existencia así como su compañera familia de unicidad que incluye sus conexiones con el problema abstracto de Cauchy. El tercer y último capítulo se enfoca en el problema de cuando los operadores diferenciales, así como los operadores matriciales tienen familias E0 de existencia. En el apéndice se presentan los espacios de Sobolev y los teoremas de inmersión, temas que son necesarios para el desarrollo del tercer capítulo

ESTABILIDAD ESTRUCTURAL TOPOLOGICA SOBRE ESPACIOS PROYECTADOS

In this work we study the topological structural stability for a family of nonlinear semigroups Th(·) on Banach spaces Xh which dependent on a parameter h.En este trabajo estudiamos la estabilidad estructural topologica para una familia de semigrupos no lineales Th(·) sobre espacios de Banach Xh dependiendo de un parametro h

Estabilidad de materiales parcialmente viscoelásticos

En el presente trabajo, estudiamos el problema de transmision de una viga viscoel astica con viscosidad del tipo Kelvin Voight. Esto es, estudiamos las oscilaciones de una viga compuesta de dos tipos de materiales. Una parte simplemente el astica, que obedece la ley de Hook, y la otra componente constituida de un material viscoso. Estudiamos la buena colocaci on de este problema, esto es, usando la teoria de semigrupos, mostramos la existencia, unicidad y regularidad del modelo matem atico. Finalmente, demostramos que las soluciones de este modelo decaen polinomialmente para cero. El metodo que usamos para probar este resultado es basado tambien en la Teoria de semigrupos y en un resultado reciente debido a Borichev y Tomilov. Palabras Clave: Semigrupos. Espacios de Sobolev. Problema de Cauchy. Estabilidad Polinomial.---In this paper we study the transmission problem of a viscoelastic beam with viscosity of Kelvin Voight type. That is to say, we study the oscilations of a beam composed by two di erents types of materials. One of its components is just an elastic part that follows the Hook law and the other component is a viscous material. We prove the well possedness, that is, using the semigroup theory we show the existence, uniqueness and regularity of the corresponding mathematica model. Finally we show that the solution decays polynomially to zero. The method we use to show the decay is based on the semigroup theory and the Borichev-Tomilov theorem. Keywords:Semigroups. Sobolev Spaces. Cauchy Problem. Polinomial Stability.Tesi

Shadowing para Aproximar la Solución de problemas Parabólicos Semilineales para intervalos de Tiempo Grandes.

Se presenta un resultado de shadowing para un problema de evolucion parabolico no autonomo. Utilizando el metodo de Euler hacia atras se demuestra que bajo ciertas hipótesis de regularidad se puede aproximar usando shadowing la solucion de un problema de la forma                               u'(t) = A(t)u(t) + f(t);donde A(t) es el generador de un semigrupo analítico sobre un espacio de Banach

Inertial Manifolds for A Partial Differential Equation in Sobolev Space with Weight

En el presente trabajo, se demuestra la existencia de una variedad inercial para una ecuación diferencial parcial en espacio de Sobolev con peso. Se usó la metodología del análisis funcional en espacio de Hilbert con operadores autoadjuntos no acotados; analizándose la ecuación diferencial parcial &nbsp;(1), siendo A un operador positivo no acotado autoadjunto y disipativo en un espacio de Sobolev con peso en H, F es el término no lineal con la propiedad de Lipschitz local en el dominio de . Al realizar el análisis de la ecuación (1) se obtuvieron los resultados siguientes: Para barrera espectral de la ecuación (1) tal que &nbsp; es de dimensión finita se concluye que &nbsp;es una variedad Lipschitziana de dimensión finita satisfaciendo las siguientes propiedades: es invariante para el semigrupo . atrae exponencialmente todas las órbitas de la ecuación de evolución (1). Si , se tiene una variedad inercial para la ecuación de evolución no lineal&nbsp;&nbsp; . Finalmente se concluye que: Sea una barrera espectral para (1) tal que &nbsp; es de dimensión finita y &nbsp;Entonces, la función &nbsp; es una variedad inercial para (1).In the present work, the existence of an inertial manifold is demonstrated for a partial differential equation in Sobolev space with weight. The methodology of functional analysis in Hilbert space with unbounded self-adjoint operators was used; analyzing the partial differential equation &nbsp;(1). where A is a self-adjoint and dissipative unbounded positive operator on a Sobolev space with weight on H, F is the nonlinear term with the local Lipschitz property in the domain of . When performing the analysis of equation (1) the following results were obtained: i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; For λ spectral barrier of equation (1) such that &nbsp;,for some &nbsp;and &nbsp; &nbsp;is of finite dimension it follows that &nbsp;is a manifold Finite-dimensional Lipschitzian satisfying the following properties: a) is invariant for the semigroup . exponentially attracts all the orbits of the evolution equation (1). If , we have an inertial manifold for the nonlinear evolution equation . Finally it is concluded that: Let &nbsp;be a spectral barrier for (1) such that &nbsp;is of finite dimension and &nbsp;Then, the function Gr(Q) is an inertial manifold for (1)